Inferensi Statistika Mean 1 Populasi dengan Variansi Diketahui

Inferensi ini juga dikenal dengan uji Z. Uji Z merupakan pengujian terhadap mean suatu populasi sebarang. Syarat untuk pengujian ini, nilai σ² (standar deviasi populasi) harus diketahui. Jika suatu distribusi populasi nya tidak diketahui, maka gunakan sampel random yang cukup besar (n≥30) , sehingga teorema limit pusat dapat diterapkan.

1. Uji hipotesis
a.         H₀: μ=μ₀ vs H₁: μ≠μ₀

b.         H₀: μ≥μ₀ vs H₁: μ<μ₀

c.          H₀: μ≤μ₀ vs H₁: μ<μ₀

 

2. Tingkat Signifikansi

  
3. Statistik Uji

4. Daerah Kritik

5. Kesimpulan

Distribusi Kontinu dan Macamnya

Telah disinggung pada artikel sebelumnya mengenai distribusi diskrit dan macamnya. Sekarang akan dibahas tentang distribusi kontinu beserta macamnya.  Nah mari kita ulas lebih lanjut. 

Distribusi kontinu merupakan suatu distribusi dengan nilai X merupakan suatu selang yang nilainya lebih dari atau sama dengan nol (X≥0). Terdapat beberapa macam distribusi kontinu yang terkenal antara lain: Distribusi Normal, Distribusi F, Distribusi Gamma. Mari kita ulas distribusi-distribusi ini lebih lanjut.

1. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yang sangat penting dalam statistika. Distribusi ini juga sering disebut dengan Distribusi Gauss. Gambar Distribusi ini menyerupai lonceng. Fungsi Kepadatan Peluang atau Probability Density Function (PDF) untuk distribusi ini adalah:

X ~ N (μ,σ²) bila:

Disitribusi ini memiliki mean µ dan variansi σ²

Distribusi Normal Standar merupakan distribusi normal dengan nilai mean=0 dan standar deviasi=1.

2. Distribusi Gamma

Sebelum membahas distribusi Gamma, terlebih dahulu kita berbicara mengenai fungsi Gamma. Fungsi Gamma, dilambangkan dengan Γ(n) untuk semua n > 0 adalah:

Distribusi Gamma dengan parameter α >0 dan β>0 memiliki bentuk PDF:

Distribusi ini memiliki mean=αβ dan variansi=αβ² 

3. Distribusi Eksponensial 
Jika pada PDF Gamma diambil α=1 maka PDF Gamma menjadi:

PDF tersebut merupakan PDF untuk distribusi eksponensial dengan parameter β:

 

Jadi PDF eksponensial merupakan kejadian khusus dari PDF Gamma

4. Distribusi χ² (Chi Square)

Perhatikan lagi PDF Gamma:

Khusus untuk α=(n/2)  dan β=2 , maka distribusi khusus ini disebut Distribusi Chi-Square dengan derajat bebas n. Dinotasikan dengan X ~ χ² (n)

Distribusi ini memiliki mean=n dan variansi=2n

5. Distribusi t atau Student's t

Bila Z~ N(0,1) dan  V~ χ² (n). Z dan V independen maka:

Distribusi ini merupakan distribusi T dengan derajat bebas n

6. Distribusi F 

Bila U ~ χ² (m) dan V~ χ² (m) maka:

Distribusi ni merupakan distribusi F dengan derajat bebas pembilang m dan penyebut m.

Distribusi Diskrit dan Macamnya

1.     Distribusi Uniform Diskrit

Suatu peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2,…,xk) memiliki peluang yang sama, maka distribusi uniform diskritnya adalah:

 Rataan :

Variansi :

2.     Distiribusi Bernoulli

Kriteria:

a.     Hanya terdapat dua kemungkinan keluaran (Outcome) : sukses atau gagal,

b.     Probabilitas kejadian gagal (atau sukses) adalah konstan.

c.      Merupakan percobaan yang independen (keluaran percobaan tidak  mempengaruhi keluaran dari percobaan lainnya)

Mean distribusi bernoulli

Var distribusi bernaulli

 

3.     Distribusi Binomial

Kriteria:

a. Hanya terdapat satu dari dua keluaran yang memungkinan, yakni sukses atau gagal.

b.      Percobaan/pengujian dilakukan dalam kondisi yang sama dan dengan probabilitas sukses p yang konstan.

c.       Jumlah percobaan/pengujian n yang sudah ditetapkan (fixed).

d.      Keluaran percobaan/pengujian berifat independen.

e.       Variabel acak X adalah jumlah total dari n kejadian sukses dari n percobaan.

PDF Distribusi Binomial variable acak :

X ~ Binomial (n,θ)

Mean Distribusi Binomial = nθ

Variansi Distribusi Binomial : nθ(1-θ)

4.     Distribusi Binomial Negatif

Kriteria:

a.      Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

b.     Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal

c.      Probabilitas sukses p dan, demikian pula, probabilitas gagl q=1-p selalu konstan dalam setiap percobaan.

d.     Eksperiman terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total r sukses diperoleh, dimana r berupa bilangan bulat tertentu.

PDF Distribusi Binomial Negatif :

CDF Distribusi Binomial Negatif :

Dengan

Mean dan Variansi Distribusi Binomial Negatif:

 

5.     Distirbusi Geometrik

a.      Pada distribusi binomial negatif, jika r=1 atau dengan kata lain jumlah kesukesnan yang diperlukan adalah satu, maka distribusi bibom negatif menjadi distribusi geometrik dengan pdf:

b.     Mean dan Variansi Distribusi Geometrik :

6.     Distibusi Hipergeometrik

Kriteria:

a.      Populasi berukuran m

b.     Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal

c.      Suatu sampel berukuran n, dipilih dari s populasi tanpa pergantian dimana setiap himpunan bagian beranggotakan n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi sampel.

Mean dan Variansi Distribusi Hipergeometrik :

7   7.    Distribusi Poisson

Distribusi poisson digunakan untuk mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yang terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang Kriteria:

a.      Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam satuan unit yang ditentukan. Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang

b.     Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit

c.      Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit yang lainnya.

Jika p sangat kecil dan n cenderung tidak terbatas, sehingga v=np . Maka pdf distribusi poisson adalah sebagai berikut:

CDF Distribusi Poisson :

Sehingga :         

Mean dan Variansi :